Oitenta anos para resolver um problema

Considere o conjunto {1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35}. Escolha dois dos seus elementos e some-os. Se você fizer isso várias vezes, vai perceber que não há dois pares diferentes que resultem na mesma soma.

Quando um conjunto de números possui essa propriedade, ele é chamado de conjunto de Sidon. Observe que no conjunto {1, 3, 7, 10, 17, 23, 28, 35}, por exemplo, isso não acontece, pois 7+17 = 1+23.

Será que você conseguiria pensar em um outro conjunto de números com a mesma característica? Seria capaz de estabelecer uma regra geral ou uma fórmula para a construção de um conjunto de Sidon? E qual o maior tamanho possível para um conjunto desse tipo?

A última pergunta do parágrafo anterior foi formulada em 1932 pelo matemático húngaro Simon Sidon (sim! é daí que vem o nome) ao estudante Paul Erdös (1913-1996). Embora Erdös tenha sido um brilhante matemático, somente agora, 15 anos depois de sua morte, e quase 80 anos depois do desafio de Sidon, a questão foi solucionada. E para que isso acontecesse foi necessário unir os esforços de três matemáticos: dois espanhóis e um russo. Ainda que eles atuassem em campos de estudo diferentes, a combinação das suas pesquisas levou à solução do problema. Para isso, usaram ferramentas da Álgebra, da Análise Matemática, da Análise Combinatória e da Teoria das Probabilidades.

Como  grande parte dos problemas que são objeto de estudo dos matemáticos nos dias de hoje, o conjunto de Sidon ainda não possui aplicações fora da área da Matemática. Aliás, as pesquisas matemáticas possuem esta particularidade: a utilidade prática para a maioria das descobertas só é encontrada muito tempo depois.